Permodelan Matematika

Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk mempresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia real dalam pernyataan matematika sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia real ini menjadi lebih tepat. (Prayudi, 2006). Sederhananya, model matematika merupakan usaha untuk menggambarkan suatu fenomena ke dalam bentuk rumus matematis sehingga mudah untuk dipelajari dan dilakukan perhitungan.

 

Tahapan Pemodelan Matematika

permodelan1

  1. Mengenali dan menamai variable bebas dan tak bebas serta membuat asumsi-asumsi seperlunya untuk menyederhanakan fenomena sehingga membuatnya dapat ditelusuri secara matematika.
  2. Menerapkan teori matematika yang telah diketahui pada model matematika yang telah dirumuskan guna mendapatkan kesimpulan matematikanya.
  3. Mengambil kesimpulan matematika tersebut dan menafsirkannya sebagai informasi yang berkaitan dengan permasalahan yang dimodelkan dengan cara memberikan penjelasan atau membuat perkiraan.
  4. Menguji perkiraan terhadap data riil. Jika perkiraan yang kita buat tidak sebading dengan kenyataan, maka model yang didapat perlu diperhalus atau merumuskan model baru dan memulai daur kembali. Bisa juga dengan memperbaiki asumsi-asumsi yang diberikan.

 

Jenis-jenis Model Matematika

Berdasarkan Objeknya

  1. Model lingkungan,
  2. Model keuangan,
  3. Model penyakit,
  4. Model sistem control,
  5. Model logistic,
  6. Dan lain-lain

Berdasarkan pola matematikanya

  1. Model differensial,
  2. Model stokastik,
  3. Dan lain-lain

Berdasarkan kekontinuan data

  1. Model deterministic
  2. Model kontinu

 

Berikut merupakan contoh pemodelan sederhana

Sebuah home-industry tekstil membuat dua macam produk tekstil yang sering digunakan masyarakat dewasa ini, yaitu kemeja “SIIP” dan kaos “JOSS”. Dalam home-industry tersebut, kemeja dan kaos harus melalui 4 workstation agar dapat menjadi produk siap pakai, yaitu:

  • Workstation 1 : pemotongan kain dan pembuatan pola
  • Workstation 2 : penjahitan
  • Workstation 3 : pressing dan pemeriksaan (quality control)
  • Workstation 4 : pengemasan

Pemilik home-industry memiliki 4 operator dan masing-masing operator menangani 1 workstation. Pemilik mengalokasikan waktu kerja per hari sebanyak 10 jam yang dimulai dari pukul 08.00 hingga pukul 18.00. Sistem kerja yang diterapkan pada home industry tersebut merupakan sistem kerja seri, yang artinya proses kerja tersebut dilakukan secara berurutan yang dimulai dari workstation 1 dan berakhir di workstation 4. Pemilik menerapkan waktu kerja per shift, yang dimaksudkan bahwa workstation 1 akan mendapatkan shift pertama, workstation 2 akan mendapatkan shift kedua, dan seterusnya. Pemilik menetapkan shift per hari untuk 4 workstation seperti dibawah ini :

  • Shift 1 (Workstation 1) : pukul 08.00-09.30
  • Shift 2 (Workstation 2) : pukul 09.30-13.00
  • Shift 3 (Workstation 3) : pukul 13.00-16.00
  • Shift 4 (Workstation 4) : pukul 16.00-18.00

Kapasitas produksi untuk kemeja dan kaos per harinya dalam home-industry tersebut adalah 200 buah dan 120 buah. Produk kemeja dan kaos tersebut memiliki waktu proses per produk yang berbeda-beda disetiap workstation seperti yang tertera pada Tabel berikut:

Tabel 1. Waktu proses per produk pada setiap workstation

Workstation

Waktu yang dibutuhkan (menit)

Waktu tersedia per shift (menit)

Kemeja

“SIIP”

Kaos

“JOSS”

1

0,45

0,5

90

2

1,05

0,45

210

3

0,9

0,45

180

4

0,6

0,5

120

 

Pemilik menetapkan harga jual kemeja sebesar Rp35.000,- dan kaos sebesar Rp40.000,-. Pemilik akan mengambil keuntungan sebesar 45% dari harga jual kemeja dan 50% dari harga jual kaos.

Permasalahan tersebut akan dimodelkan secara matematis untuk agar kita dapat mencari banyaknya kemeja dan kaos yang harus diproduksi setiap harinya agar keuntungan yang didapatkan optimal.

Berdasarkan permasalahan diatas, didefinisikan dua buah variable yang menunjukkan masing-masing jumlah produksi kemeja atau kaos.

 

Definisi

X1 = Jumlah produksi kemeja

X2 = Jumlah produksikaos

Berdasarkan persentase keuntungan yang diambil dari masing-masing produk, dibentuk fungsi tujuan sebagai berikut:

  

Fungsi Tujuan

Memaksimalkan

= 15750 X1 + 20000 X2

Dengan segala keterbatasan yang ada dalam proses produksi, dapat diberikan kendala-kendala sebagai berikut:

 

Kendala

0.45 X1 +  0.5 X2 ≤ 90

1.05 X1 +  0.45 X2 ≤ 210

0.9 X1 + 0.45 X2 ≤ 180

0.6 X1 + 0.5 X2 ≤ 120

X1 ≤ 200

X2 ≤ 120

X1 , X2 ≥ 0

 

Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Salah satunya dengan menggunakan program linear. Metode yang digunakan dalam penyelesaian secara program linear pun beragam, hingga didapat nilai X1 dan X2 yang dapat menghasilkan keuntungan optimal.

 

 

Referensi:

Faozi, Anis. 2016. “Mengenal Pemodelan Matematika”. https://caramudahbelajarmatematika.com/mengenal-pemodelan-matematika/. Diakses pada tanggal 16 November 2016 pukul 09:27.